■画像補間法
多値画像（グレイ画像）やカラー画像を用いて、高精度な画像処理（回転、拡
大、変形等）を行う際に避けて通れないのが、画像補間法である。
たとえば上の黄と青の図形を左に回転させることを考えよう。
このような回転処理を施した画像を生成するには、回転後の画像のある画素が
回転前のどの画素に対応しているかを、全画素について計算すればよい。
たとえば上の説明図で、回転画像の点Ａは原画上の点Ａ'から、点Ｂは原画上
の点Ｂ'から、点Ｃは原画上の点Ｃ'から、その濃度値を取得すればよい。
ところで、点Ａ'のように原画の画素のほぼ中心にくる場合は選択の余地はな
いが、点Ｂ'のように青画素と背景（白）画素との中間にくる場合や、点Ｃ'の
ように４つの画素の中間にくる場合は、どの画素の濃度値を取得すればよい
か迷ってしまう。この対応点の濃度値の取得方法として、以下の３つの手法
が知られている。
１）ニアレストネイバー法(nearest neighbor)
一般的に、回転後の画像のある画素に対応する、回転前の画像の画素の座標
は、整数値を取らず実数値を取る。よって最近傍の画素を選択し、この濃度
値を回転後の画像の対応画素に描き込む方法が、ニアレストネイバー法であ
る。ただし、９０°、１８０°、２７０°のような９０°毎以外の回転では、
±0.5画素未満の量子化誤差（実数を整数とみなしたことによる）を伴うた
め、エッジにはジャギー（ギザギザ）が発生する。
２）バイリニア法（bi-linear interpolation）
ニアレストネイバー法では最近傍の画素を選択したが、バイリニア法では周
囲の４つの画素の濃度値から、その座標（実数値）に応じて線形の濃度補間
（X,Y共に）を行う。
３）バイキュービック法（bi-cubic convolution）
バイリニア法よりも高精度で補間を行うために、周囲の１６個の画素の濃度
値から、３次関数を用いて補間する（X,Y共に）。補間に用いる式は、
sin(πｘ）/πｘで、理論（サンプリング定理）的には最も完全な濃度補間
式である。これをテイラー展開で3次の項で近似し、補間式として用いる。
 
ニアレストネイバー法 バイキュービック法
上にニアレストネイバー法とバイキュービック法による、画像回転の実施例
を示す。ニアレストネイバー法ではエッジにジャギーが発生しているが、バ
イキュービック法では起きていない。なお、バイリニア法でも、バイキュー
ビック法に近い画質が得られる。
なお画像補間法は、回転だけではなく、画像の拡大・縮小の際にも使われる。
下図は、原画中の白枠内の部分画像をニアレストネイバー法とバイキュービ
ック法を用いて、2.4倍に拡大した図である。バイキュービック法では拡大画
像に不自然さはないが、ニアレストネイバー法ではエッジにジャギーが発生
している。
原画
 
ニアレストネイバー法 バイキュービック法
（A1）これらの画像補間法は、２値画像では使えないのですか？
（Q1）ニアレストネイバー法のみ使えます。他の手法は使えません。
（A2）カラー画像でも使えますか？
（Q2）各R,G,B成分毎の濃度値に対して、適用します。
（A3）バイキュービック法はどのような場合に使いますか？
（Q3）実用的には、バイリニア法だけで問題ありません。ただ、画像
を大きく拡大する場合には、バイリニア法だとエッジ部（濃淡
の変化が大きいところ）で、ジャギー（ギザギザ）が発生しま
す。バイキュービック法だと、ほとんど気になりません。
（A4）バイキュービック法で用いる補間関数sin(πｘ）/πｘは
何ですか？
（Q4）画像は、１画素を最小単位とする画素の集合です。もともと連
続した画像を画素単位のデータに変換することを標本化（サン
プリング）といいます。
連続画像の標本化は、連続画像と矩形関数（RECT関数）のたた
みこみ（コンボルージョン）によるものと考えることができ、
矩形関数のフーリエ変換がsinc（ｘ）＝sin(πｘ）/πｘとな
ります。
標本化定理を使えば、標本化間隔をある空間周波数以上にと
れば、標本点から連続画像を完全に復元できます。この復元
はフーリエ逆変換によって行われるので、sinc（ｘ）が係数
関数としてでてくるのです。
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